Lögmál Murphys og líkindareikningur

Ég vaknaði í morgun klukkan sex til að undirbúa mig undir það að sýna niðurstöðurnar mínar úr tilraun nokkurri og svara nokkrum fræðilegum spurningum í kjölfarið. Ég uppgötvaði alvarleg mistök í þremur gröfum skýrslunnar og ákvað að leiðrétta mistökin, prenta út nýju gröfin og líma þau yfir þau gömlu. Prentarinn reyndist hins vegar vera stíflaður og þurfti ég að taka hann í sundur til þess að geta fjarlægt stíflupappírinn og prenta umrædd gröf. Við líminguna kláraðist límið, svo ég neyddist til að stinga leiðréttingunum inn á milli blaðsíðna skýrslunnar og drífa mig út í rigninguna - enda orðinn of seinn á fund minn með tilraunaleiðbeinandanum. Sá reyndist vera kvalinn af þursabiti og var því ekki við. Einnig komst ég að því að sá sem ég ætlaði að sýna næstu skýrslu, sem ég geri eftir viku, sé ekki á samning og verði þá kannski ekki til staðar. Lögmál Murpys var það fyrsta sem mér datt í hug, þegar ég gekk aftur heim.

En að öðru. Um daginn lögðu tveir, að öllu leyti ótengdir einstaklingar fyrir mig sama eftirfarandi dæmi:

Um er að ræða sjónvarpsþátt, þar sem sjónvarpsgestur á að velja á milli þriggja lokaðra dyra en á bak við eina þeirra er sportbíll (á bak við hinar eru geitur). Eftir að gesturinn hefur valið sér dyr, opnar þáttarstjórnandinn eina af báðum dyrunum, sem eftir eru, og á bak við hana er geit. Gestinum er nú boðið að skipta dyrunum, sem hann valdi sér, út fyrir þær sem eftir eru. Hvað á hann að gera?

Báðir vissu einstaklingarnir að það væru meiri líkur - réttara sagt 2/3 líkur - á að sportbíllinn væri á bak við dyrnar, sem eftir eru, á meðan aðeins 1/3 líkur væru á að hann væri á bak við dyrnar sem gesturinn valdi, en þeir gátu hvorugur skilið af hverju það væri; eðlilegt væri að halda að líkurnar dreifðu sér jafnt á þær dyr, sem óopnaðar væru. Ég hló og sagðist sjálfur ekki vita af hverju líkindin létu svona, en nokkrum dögum seinna fór ég aftur að hugsa um þetta vandamál. Mér varð hugsað til skammtafræðinnar og hvernig mælingar á ákveðnum tíma og á ákveðnum stöðum breyttu líkindafalli einda og fór þá að gruna þáttarstjórnandann, sem veit hvar bíllinn er geymdur, um að eiga sök á líkindunum undarlegu. Þáttarstjórnandinn verður nefnilega að fylgja eftirfarandi reglum:

1. Hann má ekki opna dyrnar sem gesturinn velur sér.
2. Hann má ekki opna dyrnar sem sportbíllinn stendur á bak við.

Þess vegna er það fullvíst að hann muni opna „geitadyr“. Það eru 1/3 líkur á að sjónvarpsgesturinn hafi valið, við fyrstu tilraun, dyrnar að bílnum (þ.e.a.s. að þáttastjórnandinn eigi, eftir val gestsins, völ á tveimur „geitadyrum“) og því 2/3 líkur á að bíllinn leynist á bak við dyrnar, sem eftir eru. Það er eðlilegt að hugsa sér að líkurnar á að hreppa bílinn aukist, eftir að valið á milli þriggja dyra minnkar niður í val á milli tveggja, en þær aðstæður væru aðeins fyrir hendi ef að t.d. þáttarstjórnandinn veit ekki á bak við hvaða dyr sportbíllinn stendur eða þá að hann myndi brjóta ofanverða reglu númer eitt (og á bak við dyr gestsins væri geit). Óvenjulegu líkindin skapast því við þetta tilbúna ástand, sem orsakast af vitneskju þáttarstjórnandans. (Þess má að lokum geta að við leit mína að viðeigandi mynd við þessa færslu fann ég Wikipedia-grein um þetta líkindadæmi, en samkvæmt henni kallast það Monty Hall-vandamálið).